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Apr 08, 2023

Règles de conception pour l'électro forte

npj Matériaux informatiques

npj Computational Materials volume 6, Article number: 130 (2020) Citer cet article

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L'essor explosif de la photonique sur silicium a suscité un regain d'intérêt pour l'effet électro-optique (EO) ou effet Pockels en raison de ses utilisations potentielles dans de nombreuses applications de dispositifs de nouvelle génération. Pour trouver des matériaux avec une forte réponse EO sous forme de couches minces, qui sont essentiels pour les appareils à faible puissance et à faible encombrement, il faut trouver une règle de conception générale pour les matériaux Pockels solides. Pour élucider ce qui rend l'effet Pockels fort, nous étudions l'effet dans LiB3O5 (LBO) et CsB3O5 (CBO) et utilisons ces matériaux comme exemples prototypiques de cas où la sagesse conventionnelle s'effondre. Nous trouvons que les composants du tenseur de Pockels sont extrêmement petits dans les deux matériaux, malgré le degré élevé d'anharmonicité dans les cristaux, qui a été utilisé comme indicateur de la présence d'effets électroniques non linéaires. Nous relions l'absence de réponse EO aux grandes fréquences de phonons optiques (malgré la susceptibilité Raman relativement grande) dans LBO et à la petite susceptibilité Raman (malgré les basses fréquences de phonons) dans CBO, respectivement. Nous avons mis en lumière les phénomènes physiques sous-jacents à la susceptibilité Raman, que nous trouvons intimement liés à la force de couplage électron-phonon des états électroniques proches du bord, et identifié une voie pour découvrir de nouveaux matériaux EO forts.

La remarquable capacité d'un cristal non centrosymétrique à modifier son indice de réfraction en réponse à un champ électrique appliqué, connue sous le nom d'effet Pockels1, a fait l'objet d'études de plus en plus nombreuses ces dernières années en raison de son potentiel à faciliter la transmission à grande vitesse et à faible puissance. la modulation électro-optique dans les applications photoniques intégrées2,3,4,5,6, y compris la transmission de données intrapuce, les puces optiques logiques neuromorphiques7 et les circuits intégrés photoniques pour l'informatique quantique8,9. Étant linéaire dans le champ, l'effet Pockels, ou électro-optique linéaire (EO), coexiste avec l'effet Kerr beaucoup plus petit10 (qui est du second ordre dans le champ) et avec la génération de deuxième harmonique (SHG). L'effet Pockels est le plus couramment utilisé pour la modulation optique dans l'industrie des télécommunications, où LiNbO3 (LNO), avec un coefficient Pockels non fixé de r51 = 33 pm/V11, est le matériau "gold standard" actuel1,12,13. Cependant, en raison de la complexité de l'intégration de LNO14,15,16,17 sur Si, les titanates de pérovskite sont récemment devenus les principaux sujets à la fois théoriques18,19,20,21,22 et expérimentaux7,17,23,24,25,26, 27,28,29,30,31,32 études sur l'utilisation de l'effet Pockels en photonique Si. L'objectif principal de ces efforts a été le BaTiO3 (BTO), en raison de son intégrabilité avec le Si (001)27,28,33 et de son très grand effet Pockels non fixé (r42 = 1300 pm/V34), qui peut conserver des valeurs semblables à celles du vrac. même en couches minces7.

Il est primordial de trouver des matériaux avec de grandes réponses de Pockels afin de diminuer la consommation d'énergie et/ou la taille des dispositifs EO intégrés. Cependant, comme on ne sait pas actuellement quel mécanisme entraîne la réponse extrêmement élevée du BTO par rapport à d'autres matériaux, la recherche d'alternatives potentiellement meilleures s'est jusqu'à présent déroulée de manière plutôt empirique.

Des études théoriques récentes de l'effet Pockels dans les titanates de pérovskite18,19,20 offrent une voie systématique à suivre. Fredrickson et al.19 ont exploré l'ingénierie des contraintes dans le BTO. Ils ont trouvé des contraintes biaxiales critiques auxquelles la réponse de Pockels a divergé et des modes de phonons spécifiques sont devenus faibles. Hamze et Demkov18 ont étudié le même phénomène dans le SrTiO3 (STO) contraint et, à travers les analyses des paramètres de mode de Grüneisen, ont lié l'anharmonicité (modes doux) à une réponse EO émergente35,36. Paillard et al.20 ont rapporté un comportement similaire dans la réponse EO du PbTiO3 (PTO) contraint. Ces cristaux ont tous en commun des phonons mous et une grande anharmonicité cristalline. Un modèle d'oscillateur anharmonique 1-D de l'effet Pockels37 montre que le paramètre Pockels est directement proportionnel au coefficient du terme de force anharmonique, renforçant la relation supposée entre l'anharmonicité et la réponse EO. Constatant que, dans ces matériaux, l'effet Pockels est dominé par le réseau, le facteur de mérite approprié est le rapport de la susceptibilité Raman au carré de la fréquence des phonons. On peut donc en déduire la règle de conception suivante : les cristaux fortement anharmoniques et non centrosymétriques doivent présenter un effet Pockels important.

L'anharmonicité cristalline est souvent associée à de grands coefficients de dilatation thermique. Dans le tableau 1, nous énumérons une sélection de cristaux non centrosymétriques et leurs propriétés matérielles. BTO, STO et PTO ont tous des coefficients de dilatation thermique élevés, comme de nombreux autres matériaux Pockels solides. Par conséquent, un candidat idéal pour tester la règle de conception proposée est LiB3O5 (LBO). Bien qu'il n'y ait pas de mesures Pockels rapportées de LBO (Fig. 1), il s'agit d'un cristal optique non linéaire38 couramment utilisé avec de nombreuses propriétés optiques favorables39,40 et il possède un coefficient de dilatation thermique d'un ordre de grandeur supérieur41,42 à celui de BTO, STO , ou prise de force.

La structure cristalline de LBO. Son groupe spatial est Pna21 et sa structure41,127,128 consiste en un réseau hélicoïdal d'anneaux B3O7 qui partagent un de leurs atomes d'oxygène avec des groupes B3O7 voisins. Deux des atomes B sont coordonnés trois fois et un est coordonné quatre fois. Les atomes de Li résident dans les vides des hélices B3O7, qui sont le long de l'axe c. a Cellule unitaire de LiB3O5 (à température ambiante41), et b les anneaux de B3O7 qui composent les chaînes hélicoïdales.

Dans cet article, en utilisant des calculs de premiers principes, nous avons entrepris d'identifier l'origine microscopique de la grande réponse de Pockels d'un matériau. Nos calculs ont révélé une physique plus profonde et plus complexe que celle précédemment démontrée. Contrairement à nos attentes initiales, LBO a une réponse de Pockels très faible en raison de la faible masse atomique de Li conduisant à des fréquences de phonons élevées. Nous essayons d'induire une réponse plus forte en adoucissant les modes en remplaçant les atomes légers de Li par des atomes de Cs beaucoup plus lourds en considérant le cristal CsB3O5 (CBO) associé. Cela adoucit avec succès les modes phonons mais n'améliore pas la réponse de Pockels, soulignant ainsi l'importance d'une propriété différente, la susceptibilité Raman, une connexion initialement soulignée par Johnston et Kaminow43,44. Nous comparons nos résultats pour le LBO et le CBO à des travaux antérieurs sur le STO contraint et, à l'aide d'un modèle simple à liaison étroite, associons de grandes susceptibilités Raman au potentiel de déformation du matériau. Maintenant, notre règle de conception raffinée stipule qu'en plus de l'absence de symétrie d'inversion, une grande susceptibilité Raman (fort couplage électron-phonon) et des phonons mous sont des ingrédients essentiels pour produire une grande réponse EO.

Tous les calculs sont effectués dans le cadre de la théorie fonctionnelle de la densité (DFT) en utilisant ABINIT45,46,47,48,49,50,51 et suivent le cadre théorique développé par Veithen et al.49 (voir la section "Méthodes" pour plus de détails). Macroscopiquement, le coefficient de Pockels r relie la variation de l'indice de réfraction à un champ électrique appliqué comme \(n\left( E \right) = n_0 - \frac{1}{2}rn_0^3E\), où n0 est l'indice de réfraction sous aucun champ1. Dans un cristal, un champ électrique modulant peut se coupler directement aux électrons, au réseau, ou provoquer une modulation du réseau par effet piézoélectrique inverse. Par conséquent, en général, on peut écrire le changement du tenseur diélectrique en réponse au champ extérieur comme52

Ici, π est la contrainte et P est la polarisation ionique. Le dernier terme est l'effet direct du champ appliqué sur la polarisabilité, et seuls les électrons peuvent répondre à la fréquence de sondage optique ; c'est SHG \(\left( {\chi ^{(2)}} \right)\). Le premier terme décrit l'effet de la déformation causée par le champ appliqué et est présent aux basses fréquences de modulation - c'est la réponse non fixée, ce qui signifie que le réseau a le temps de se déformer en réponse au champ appliqué, et il peut être négligé aux hautes fréquences de modulation . Le deuxième terme est la contribution dite ionique ou de réseau à la réponse EO et est au centre de notre étude.

Au microscope, le coefficient de Pockels est un tenseur \(r_{ijk}\) qui relie la variation de la composante ij du tenseur diélectrique inverse d'un cristal non centrosymétrique à un champ électrique externe statique appliqué dans la direction k10,49,53

Il existe trois contributions au tenseur de Pockels : une composante électronique, une composante ionique et une composante piézoélectrique due à l'effet piézoélectrique inverse49. Ces trois composantes sont données par (dans les axes principaux du cristal)49

où n est l'indice de réfraction, \(\chi _{ijl}^{\left( 2 \right)}\) est la susceptibilité optique non linéaire, Ω0 est le volume de la cellule unitaire et \(\alpha _{ ij}^m\), \(p_{m,k}\) et ωm sont respectivement la susceptibilité Raman, la polarité du mode et la fréquence du mode m au point Γ, \(p_{ij\mu \nu }\) est le tenseur élasto-optique (photoélastique) et \(d_{k\mu \nu }\) est le tenseur piézoélectrique. Les équations (3–5) sont les formes microscopiques des premier, deuxième et troisième termes de l'équation. (1), respectivement. La susceptibilité Raman et la polarité du mode sont données par

où γ étiquette un atome, β étiquette une direction, τγβ est un déplacement d'atome \(\gamma\) dans la direction \(\beta\), \(\chi _{ij}^{\left( 1 \right)} \) est le tenseur de susceptibilité diélectrique électronique, \(Z_{\gamma ,k\beta }^ \ast\) est la charge effective de Born, et \(u_m\left( {\gamma \beta } \right)\) est le déplacement propre de l'atome γ dans la direction β en mode m (qui se rapporte au vecteur propre par un facteur \(1/\sqrt {M_\gamma }\), où Mγ est la masse de l'atome γ). Le tenseur de Pockels total est regroupé en deux parties, une partie sans contrainte (bridée) et une partie sans contrainte (non serrée). Le tenseur de Pockels serré \(r_{ijk}^\eta\) est la somme des contributions électroniques et ioniques, et le tenseur desserré \(r_{ijk}^\sigma\) ajoute la contribution piézoélectrique

Notez que nous utilisons la notation de Voigt10 pour regrouper les deux premiers indices lorsque nous rapportons nos prédictions du tenseur de Pockels.

Dans notre analyse de l'anharmonicité cristalline, nous utilisons les paramètres de Grüneisen en mode isotrope35 (Eq. (S1)) - un bref aperçu de la façon de les calculer est fourni dans les informations supplémentaires. Enfin, nous calculons également les potentiels de déformation54,55,56, qui donnent une mesure du couplage électron-phonon, pour certains modes de phonon. Le potentiel de déformation dm pour le phonon optique m est défini par la variation de l'énergie du minimum de bande de conduction (CBM) EC sous les déplacements des positions ioniques selon le mode phonon m d'amplitude δm

Par conséquent, une fois que le potentiel de déformation est connu, le changement du CBM peut être calculé pour une amplitude de phonon donnée comme \({\mathrm{\Delta }}E_C = d_m\delta _m\). Une expression analogue peut être définie pour le maximum de la bande de valence (VBM), qui peut ensuite être ajoutée à l'expression du CBM pour donner le changement de la bande interdite. Cependant, comme nous avons mis le VBM à zéro dans nos calculs, nous ne considérons que le CBM. Plus les potentiels de déformation du CBM et du VBM sont grands pour un mode de phonon donné, plus le changement de la bande interdite sous les déplacements atomiques est important.

Les cinq plus grandes composantes du tenseur de Pockels pour LBO, réparties en contributions électroniques, ioniques et piézoélectriques, sont répertoriées dans le tableau 2. Les valeurs prédites sont extrêmement faibles.

En comparant les composants, on s'aperçoit que la contribution ionique est du même ordre que les contributions électroniques et piézoélectriques, malgré l'extraordinaire anharmonicité du cristal LBO. Rappel de l'éq. (4), cependant, que la contribution ionique est inversement proportionnelle aux fréquences des phonons à Γ, au carré. Les grandes fréquences de phonons dans LBO (tableau S1), un ordre de grandeur supérieur à celles des titanates de pérovskite18,19,20, suppriment la réponse EO. Comment ces hautes fréquences de phonons coexistent-elles avec la grande anharmonicité thermique ? Une étude de diffraction des rayons X sur poudre à haute température41 de l'expansion thermique de LBO a révélé que les mécanismes d'entraînement de l'expansion thermique dans LBO étaient de grandes oscillations de l'atome de Li le long de l'axe a, la séparation croissante des chaînes B3O7 comprenant le c - hélices orientées (conduisant à la grande dilatation thermique dans les directions a et b), et l'effondrement d'un angle B – O – B reliant différentes chaînes (conduisant à la compression dans la direction c). De plus, la fréquence d'oscillation est proportionnelle à \(1/\sqrt m\). L'atome le plus lourd de LBO est l'oxygène, qui est étroitement lié aux atomes B. En revanche, dans les titanates de pérovskite18,19,20, le mode le plus anharmonique (et le mode responsable des grandes réponses de Pockels) est associé à une transition de phase ferroélectrique et implique le déplacement d'un atome de Ti beaucoup plus lourd. Le mécanisme sous-jacent à l'anharmonicité des titanates de pérovskite est donc assez différent du LBO. Par conséquent, lorsque le mode phonon entraînant la dilatation thermique est un mode haute fréquence, la simple association entre une forte réponse de Pockels et l'anharmonicité est rompue.

Compte tenu de ces différences entre LBO et les titanates de pérovskite, la réponse de Pockels du cristal LBO peut-elle être améliorée ? Nous calculons les paramètres de Grüneisen des dix modes optiques les plus doux de LBO et trouvons que le mode 9 est le plus anharmonique (Fig. S1). Ce mode phonon consiste principalement en un mouvement des atomes Li (Fig. S2). En raison de sa sensibilité Raman et de sa polarité de mode relativement importantes (Fig. 2), il a une contribution relativement élevée à \(r^{{\mathrm{ion}}}\) (en particulier, \(r_{23}^{{ \mathrm{mode}}\;9} = 0,32\) pm/V et \(r_{33}^{{\mathrm{mode}}\;9} = - 0,19\) pm/V). Seule la haute fréquence (\(\omega_0\) = 154,9 cm−1) du mode maintient faible la contribution de ce mode au tenseur de Pockels. Si nous pouvons adoucir ce mode, nous nous attendrions à ce que la contribution déjà (relativement) importante de ce mode augmente.

Pour les dix modes optiques les plus doux de LBO, a l'amplitude de la plus grande composante de la susceptibilité Raman, et b l'amplitude de la polarité du mode. Les mêmes quantités sont tracées pour CBO en c et d, respectivement. Les susceptibilités Raman de LBO (a) sont beaucoup plus grandes que celles de CBO (c), tandis que les polarités de mode (b, d) sont à peu près les mêmes (car les atomes ont des charges effectives de Born d'environ la même amplitude). Les susceptibilités Raman de LBO (a) sont comparables en amplitude à celles de STO à une contrainte de compression biaxiale de 1 % (Fig. 3a), tandis que les polarités de mode sont beaucoup plus petites et les fréquences de phonons sont beaucoup plus grandes.

Pour adoucir le mode, nous remplaçons les atomes de Li dans le cristal par des atomes de Cs. Cs est ~19 fois plus lourd que Li, et parce que la contribution ionique au tenseur de Pockels est inversement proportionnelle à la fréquence des phonons au carré, qui est à son tour inversement proportionnelle à la masse atomique, nous nous attendons à une réduction significative des fréquences des phonons de ce remplacement . Cependant, un simple remplacement de Li par Cs dans LBO conduit à un cristal dynamiquement instable, nous considérons donc plutôt le cristal CBO associé. Son groupe spatial est P212121, et comme LBO, CBO a un réseau d'anneaux B3O7, mais dans CBO, ils partagent quatre de leurs atomes d'oxygène externes avec d'autres anneaux B3O757,58. Les atomes de Cs se trouvent dans les vides de ce réseau, qui s'étendent le long des axes a et b au lieu d'un seul axe comme dans LBO. Les fréquences des phonons en CBO (tableau S1) sont en effet beaucoup plus faibles qu'en LBO, mais le tenseur de Pockels (tableau 2) reste extrêmement petit. Pour comprendre pourquoi, nous nous tournons maintenant vers le numérateur de la contribution ionique au tenseur de Pockels (Eq. (4)) qui est le produit de la susceptibilité Raman (Eq. (6)) et de la polarité du mode (Eq. (7) ). Sur la figure 2, nous traçons l'amplitude des susceptibilités Raman et des polarités de mode des dix modes optiques les plus doux de LBO et CBO. Les polarités de mode de LBO et CBO (Fig. 2b, d) sont à peu près de la même amplitude, ce à quoi nous nous attendons car les atomes de LBO et CBO ont des charges effectives de Born similaires. Les susceptibilités Raman (Fig. 2a, c), cependant, sont d'un ordre de grandeur plus petit dans CBO. Cela annule tous les gains réalisés en réduisant les fréquences des phonons et maintient la réponse EO nette faible.

Pour comprendre le rôle de la susceptibilité Raman dans la réponse de Pockels, nous considérons d'abord son rôle dans l'amélioration extrême de la réponse de Pockels dans STO18 contraint, et deuxièmement, pour obtenir une intuition physique du mécanisme sous-jacent, nous introduisons un modèle simple à liaison étroite . Sur la figure 3, nous traçons la susceptibilité Raman et la polarité modale de STO sous deux contraintes de compression biaxiales, -1, 0% en a et b et -1, 2% en c et d. Hamze et Demkov18 ont montré qu'à une déformation de -1,2 % (ci-après dénommée la déformation critique), le tenseur de Pockels présente un grand pic avec la plus grande composante ionique atteignant \(r_{33}\) = -236,469 pm/V. Cela est dû à la proximité du cristal à cette souche avec une transition de phase de la phase tétragonale centrosymétrique P4/mmm à la phase tétragonale non centrosymétrique P4mm. Le mode phonon responsable de cette transition devient extrêmement doux à cette souche, conduisant à la grande réponse de Pockels. Cependant, il y a une contribution supplémentaire à la grande réponse. En comparant les susceptibilités Raman à -1,0% de déformation et à -1,2% de déformation (Fig. 3a, c, respectivement), nous voyons que l'amplitude de la susceptibilité Raman augmente d'un ordre de grandeur à la déformation critique. En revanche, les polarités de mode (Fig. 3b, d) sont effectivement inchangées entre les souches car, comme dans le cas LBO et CBO, les charges effectives de Born sont identiques entre les cellules.

Susceptibilités Raman et polarités de mode pour les 12 modes optiques de STO (voir Hamze et Demkov18 pour les détails de calcul). L'amplitude de la plus grande composante de la susceptibilité Raman et l'amplitude de la polarité de mode sous une contrainte de compression biaxiale de 1,0 % sont indiquées en a et b, respectivement. Les mêmes valeurs sont tracées pour STO à la déformation critique en c et d, respectivement. Les amplitudes de la polarité de mode sont essentiellement inchangées sous les différentes contraintes (b, d), mais la susceptibilité Raman augmente d'un ordre de grandeur à chaque mode (a, c). La fréquence du mode le plus doux, le principal contributeur à la réponse de Pockels dans STO, est également approximativement divisée par deux, passant de -1,0% de déformation à -1,2% de déformation.

Pour mieux comprendre, nous calculons la dérivée de la susceptibilité électronique par rapport aux déplacements atomiques, \(\partial \chi ^{\left( 1 \right)}/\partial \tau\), qui est le composant clé de la Susceptibilité Raman (voir équation (6)), dans un modèle simple à liaison étroite59,60 d'une chaîne diatomique 1-D avec une constante de réseau a et une distance entre les atomes de a/2. Un atome a une orbitale 1s et l'autre a une orbitale 2p. Nous supposons que l'interaction de saut est proportionnelle à \(1/d^2\) avec une constante de proportionnalité A, où d est la distance entre les atomes, ce qui est une bonne approximation pour de nombreux matériaux61. La susceptibilité électronique linéaire dans un cristal isolant est donnée par61

où n et \(n^\prime\) sont des indices de bande pour les bandes occupées et inoccupées, respectivement, ψn est la fonction d'onde de valeur propre \(\varepsilon _n\), et la somme des bandes contient implicitement une somme sur toute la zone de Brillouin . Notez que la susceptibilité va comme l'inverse du cube de l'énergie de transition, un détail qui sera important plus tard. En considérant uniquement les interactions des plus proches voisins, nous calculons une dérivée numérique de la susceptibilité en fonction du déplacement atomique dans le mode optique (voir Eq. (12) et la section "Méthodes" pour plus de détails). Pour \(A = 1\;eV \cdot {\AA}^2\), \(a = 1\;{\AA}\), \(\varepsilon _s = 0\;{\mathrm{eV}} \), \(\varepsilon _p = 3\;{\mathrm{eV}}\), et une amplitude de déplacement de \(\delta = 0.01a\), on obtient \(\chi ^{\left( 1 \ droite)} = 97,96\) et \(\partial \chi ^{\left( 1 \right)}/\partial \tau = - 180,95\;{\AA}^{ - 1}\). En d'autres termes, une modification de 2 % de la longueur de la liaison équivaut à une modification d'environ 20 % de \(\chi ^{\left( 1 \right)}\), montrant \(\partial \chi ^{\left( 1 \right)}/\partial \tau\) est grand.

Le lien entre le changement de la susceptibilité Raman, la structure électronique et les phonons peut être compris comme suit. En raison de la troisième puissance du dénominateur de l'Eq. (11), la plus petite énergie de transition électronique est la contribution dominante à la susceptibilité ; par conséquent, les modes de phonon qui affectent fortement les bords de la bande doivent avoir de grandes susceptibilités Raman. Si ces modes sont doux, cela devrait à son tour assurer une contribution importante au tenseur de Pockels. Sur la Fig. 4, nous traçons la plus petite énergie de transition en fonction de l'amplitude de deux modes de phonons différents pour STO, LBO et CBO (Fig. 4a – c, respectivement). Les deux modes de phonons pour chaque matériau sont choisis de telle sorte que l'un (appelé mode "actif") ait une grande susceptibilité Raman et une contribution significative au tenseur de Pockels, tandis que l'autre (appelé mode "inactif") n'en ait pas. Il est clair qu'en STO, le phonon actif provoque un grand changement dans la bande interdite directe, tandis qu'en CBO, le mode actif n'a pratiquement aucun effet. En effet, la bande interdite dans STO, un oxyde de transfert de charge, est contrôlée par la séparation liaison p-d-anti-liaison, et le phonon actif modifie la distance interatomique Ti-O. Cela rend les différences entre ces trois matériaux claires : STO a des phonons mous et les modes mous affectent fortement les bords de la bande, ce qui conduit à une grande susceptibilité Raman et à une réponse EO. Le mode actif en LBO a également un effet significatif sur l'écart et donc la susceptibilité Raman est relativement grande, mais les hautes fréquences de phonons suppriment la réponse EO. En CBO, ceci est inversé avec des modes très doux ayant très peu d'impact sur la bande interdite, ce qui supprime donc la susceptibilité Raman et la réponse EO.

Plus petites énergies de transition en fonction de l'amplitude des déplacements du mode phonon pour un STO à la contrainte de compression critique18, b LBO et c CBO. La plus petite énergie de transition de la structure de l'état fondamental pour chaque matériau est définie sur 0. Les changements dans l'énergie de transition dus aux modes phonons qui ont de grandes susceptibilités Raman et contribuent fortement à la réponse de Pockels (modes actifs de Pockels) sont tracés en noir, et les changements dans l'énergie de transition dus aux modes phonons avec de petites susceptibilités Raman et qui contribuent faiblement (ou ne contribuent pas) à la réponse de Pockels (Pockels-modes inactifs) sont tracés en rouge.

Cet aspect des interactions électron-phonon est généralement décrit à l'aide de potentiels de déformation54,55,56, que nous listons pour STO, LBO et CBO dans le tableau S2 (nous fournissons également la structure de bande de LBO et CBO dans la figure S3). Nous voyons que le potentiel de déformation pour chaque matériau est plus grand lorsque les ions sont déplacés selon le mode actif de Pockels que lorsqu'ils sont déplacés selon le mode inactif (sauf en CBO, dans lequel les potentiels de déformation pour les deux modes sont ~0 eV/ Å), indiquant que de grands potentiels de déformation sont associés à de grandes susceptibilités Raman et pourraient donc indiquer le potentiel de fortes réponses de Pockels dans de tels matériaux.

Pour résumer, les phonons mous induisant des changements substantiels dans la bande interdite (c'est-à-dire ceux avec de forts couplages électron-phonon) provoquent de grands changements dans la susceptibilité électronique, comme l'illustre le modèle de liaison étroite ci-dessus. De grands changements dans la susceptibilité électronique impliquent à leur tour de grandes susceptibilités Raman, auxquelles la contribution ionique à la réponse EO est proportionnelle. Par conséquent, les matériaux non centrosymétriques avec des phonons mous et une forte interaction électron-phonon seront probablement des matériaux de Pockels forts. Cela explique pourquoi LBO et CBO ont de faibles réponses EO, et pourquoi les titanates de pérovskite sont spéciaux et ont des réponses EO si fortes.

Nous explorons la relation entre les propriétés microscopiques telles que l'anharmonicité du réseau et la force du couplage électron-phonon et l'effet Pockels en utilisant LBO comme cas de test en raison de ses coefficients de dilatation thermique extraordinairement élevés. Malgré la correspondance entre les grands coefficients de dilatation thermique et les grandes réponses EO de nombreux matériaux EO, nous avons constaté que LBO a une très petite réponse de Pockels. La petite réponse de Pockels est causée par les masses extrêmement petites des atomes constitutifs, ce qui entraîne des fréquences de phonons optiques élevées.

Guidés par l'analyse des paramètres de Grüneisen des dix modes de phonons optiques les plus doux, nous avons testé cette affirmation en étudiant le cristal CBO associé pour voir si le simple fait d'augmenter les masses atomiques conduirait à une réponse de Pockels importante en adoucissant les modes. Cette approche s'est avérée trop simpliste - en CBO, la faible susceptibilité Raman entraîne une réponse de Pockels faible malgré la présence de modes phonons beaucoup plus doux. Un modèle simple de liaison serrée fournit une description physique intuitive du mécanisme sous-jacent en jeu derrière la susceptibilité Raman. Empruntant aux méthodes utilisées pour étudier les semi-conducteurs, cela peut s'expliquer en termes de potentiel de déformation, qui quantifie la force du couplage électron-phonon des états proches du bord. On montre que les modes avec de grandes susceptibilités Raman ont de grands potentiels de déformation. Par conséquent, nous formulons une règle de conception raffinée pour les matériaux de Pockels forts : les matériaux avec de forts couplages électron-phonon (et donc de grandes susceptibilités Raman), qui ne sont pas centrosymétriques et qui ont des phonons mous seront des matériaux de Pockels forts. Nous montrons ainsi que les composants les plus importants de la réponse ionique de Pockels sont la douceur de la fréquence des phonons (pour laquelle la dilatation thermique et les paramètres de Grüneisen sont des proxys) et la susceptibilité Raman (fort couplage électron-phonon). Nous espérons que nos résultats guideront les scientifiques et les ingénieurs des matériaux dans la recherche de nouveaux matériaux EO avec des réponses encore plus fortes.

Tous les calculs de la DFT et de la théorie des perturbations fonctionnelles de la densité ont été effectués à l'aide du progiciel ABINIT45,46,47,48,49,50,51. Les pseudopotentiels conservant la norme de Troullier–Martins62 générés avec le package fhi98PP63 ont été utilisés pour tous les calculs. Les configurations d'électrons de valence étaient 2s1 pour Li, 2s22p1 pour B, 2s22p4 pour O et 6s1 pour Cs. L'énergie d'échange-corrélation a été calculée dans l'approximation de la densité locale64,65. Une grille de 8 × 8 × 8 Monkhorst-Pack66,67 points k et une énergie de coupure d'onde plane de 50 Ha ont été utilisées pour tous les calculs. Les paramètres de réseau utilisés pour tous les calculs LBO sont \(\alpha\) = 8,444 Å = 15,957 Bohr, b = 7,378 Å = 13,942 Bohr et c = 5,146 Å = 9,725 Bohr, qui sont des paramètres de réseau expérimentaux mesurés à température ambiante par Shepelev et al.41. Les positions atomiques sont complètement relâchées depuis les coordonnées expérimentales initiales jusqu'à ce que les forces soient inférieures à 2 × 10−5 Ha/Bohr.

Pour les calculs de CBO, nous utilisons la structure expérimentale déterminée par Krogh-Moe57, qui a des paramètres de réseau \(\alpha\) = 6,213 Å = 11,741 Bohr, b = 8,521 Å = 16,102 Bohr et c = 9,170 Å = 17,329 Bohr.

Pour calculer la contribution piézoélectrique au tenseur de Pockels, nous devons calculer le tenseur photoélastique (voir équation (4)). Pour ce faire, nous forçons la cellule unitaire pour isoler la composante du tenseur que nous voulons, calculons le tenseur diélectrique, l'inversons et prenons une dérivée numérique par rapport à la contrainte18,53,68.

Dans l'éq. (11), on calcule l'élément de matrice au numérateur suivant Graf et Vogl69. Pour un k* donné, il peut être calculé comme69

où α est un indice composé qui étiquette l'orbitale atomique et la position de l'atome dans la cellule, L (et 0) étiquettent la cellule unitaire, n est un indice de bande, les Ca sont les coefficients dans l'expansion des fonctions propres de la hamiltonien à liaison forte, et \(t_{\alpha ^\prime ,\alpha }\left( {R_{\alpha ^\prime ,L} - R_{\alpha ,0}} \right) = \left< \ alpha ^\prime ,L{\mathrm{|}}H{\mathrm{|}}\alpha ,0 \right>\).

Les demandes de données doivent être adressées à AAD, [email protected].

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Les auteurs tiennent à remercier Agham Posadas et Elliott Ortmann pour la lecture critique du manuscrit. Ce travail est soutenu par l'Air Force Office of Scientific Research sous Grant FA9550-18-1-0053. Tous les calculs sont effectués au Texas Advanced Computing Center.

Département de physique, Université du Texas à Austin, Austin, TX, 78712, États-Unis

Ali K. Hamze, Marc Reynaud, Jacqueline Geler-Kremer & Alexander A. Demkov

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AKH a fait tous les calculs et l'analyse des données. MR, JG-K. et AKH ont créé le tableau 1. Tous les auteurs ont contribué à la rédaction du manuscrit. AAD a supervisé et dirigé l'étude.

Correspondance à Alexander A. Demkov.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

Note de l'éditeur Springer Nature reste neutre en ce qui concerne les revendications juridictionnelles dans les cartes publiées et les affiliations institutionnelles.

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Réimpressions et autorisations

Hamze, AK, Reynaud, M., Geler-Kremer, J. et al. Règles de conception pour les matériaux électro-optiques résistants. npj Comput Mater 6, 130 (2020). https://doi.org/10.1038/s41524-020-00399-z

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Reçu : 29 février 2020

Accepté : 28 juillet 2020

Publié: 21 août 2020

DOI : https://doi.org/10.1038/s41524-020-00399-z

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