Un modèle simple pour le bruit rose des modulations d'amplitude

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Un modèle simple pour le bruit rose des modulations d'amplitude

Rapports scientifiques volume 13,

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 8364 (2023) Citer cet article

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Nous proposons un modèle simple pour l'origine du bruit rose (ou fluctuation 1/f) basé sur les ondes à fréquences cumulées. Ces ondes apparaissent spontanément dans un système avec synchronisation, résonance et divergence infrarouge. De nombreuses ondes avec des fréquences accumulées peuvent produire des signaux de petites fréquences arbitraires à partir d'un système de petite taille. Ce mécanisme de battement peut être compris comme une modulation d'amplitude. Le bruit rose peut apparaître après le processus de démodulation, qui produit une variété de bruit rose dans de nombreux domaines. Le bruit rose ainsi formé à partir du battement n'a rien à voir avec la dissipation ou la mémoire à long terme. Nous suggérons également de nouvelles façons d'examiner le bruit rose dans les tremblements de terre, les éruptions solaires et les activités stellaires.

Le bruit rose est omniprésent. Ce bruit est caractérisé par le comportement en loi de puissance dans la région des très basses fréquences de la densité spectrale de puissance (PSD) avec une puissance \(-\alpha\), (\(0,5<\alpha <1,5\)). Ce bruit est également appelé fluctuation 1/f ou bruit de scintillement.

Depuis la première découverte du bruit rose dans un courant de tube à vide1, le même bruit a été observé dans de nombreux systèmes : semi-conducteurs, métaux minces, biomembranes, oscillateurs à cristal, variations de température à très long terme, intensité de la musique orchestrale, fluctuations de la Terre vitesse de rotation, fluctuations de l'intensité des rayons cosmiques, battements cardiaques, contrôle postural, magnétoencéphalographie et électroencéphalographie dans le cerveau, etc.2,3.

Il y a eu de nombreuses discussions sur l'origine du bruit rose2,3,4,5, mais il ne semble pas y avoir de conclusion claire. De nombreux modèles ont été proposés qui donnent naissance au bruit rose, mais aucun mécanisme universel n'a été découvert.

Puisque le bruit rose est omniprésent, le mécanisme devrait être assez simple. Cependant, toutes les applications des concepts et techniques de base de la mécanique statistique standard semblent avoir rencontré des conflits et des disputes. Ensuite, les gens ont eu tendance à considérer des concepts plus fondamentaux qui peuvent réécrire la théorie de la mécanique statistique standard.

Un mécanisme typique pour produire des fluctuations arbitraires à basse fréquence serait le battement d'onde, ou la modulation d'amplitude, des fluctuations primaires à haute fréquence. Cette modulation d'amplitude serait efficace pour le bruit rose si les fréquences étaient plus concentrées dans une petite plage. Ensuite, l'onde de battement secondaire peut avoir des fréquences plus basses. Un des auteurs a déjà proposé ce mécanisme pour le bruit rose des sons et de la musique6.

De plus, cette concentration doit être coopérative et systématique pour former la DSP en loi de puissance. Nous proposons au moins trois types de systèmes coopératifs pouvant produire du bruit rose. Ce sont (a) la synchronisation, (b) la résonance et (c) la divergence infrarouge (IR).

Si le bruit rose était une modulation d'amplitude, le mécanisme de démodulation devrait également exister. En effet, l'ensemble des données modulées ne contient que des informations haute fréquence, tandis que les données après démodulation peuvent afficher explicitement les informations basse fréquence, y compris le bruit rose. Le mécanisme de démodulation peut être intrinsèque au système ou être préparé dans la procédure de mesure. De nombreux mécanismes de démodulation rendent les phénomènes de bruit rose divers : prise au carré du signal d'origine, redressement, seuillage, etc. Par exemple, lorsque le courant ou la tension électrique dépasse le seuil dans le corps biologique, l'allumage se produit et produit des pointes dans les cellules nerveuses . Ainsi, l'éventuel bruit rose du courant électrique est transféré au signal nerveux.

Nous commençons notre discussion dans la section suivante Méthode, énumérant des indices cruciaux sur l'origine du bruit rose ; tout indique la possibilité que le bruit rose soit une modulation d'amplitude. Nous proposons alors trois mécanismes qui conduisent à la modulation. Nous abordons d'abord le mécanisme de synchronisation le plus typique. Nous montrons que (a) la synchronisation exponentielle donne un indice de puissance de \(-1,\) et que la synchronisation de la loi de puissance donne un indice de puissance légèrement différent de \(-1\). Ensuite, (b) la résonance produit également un bruit rose puisque la concentration des modes propres excités autour de la fréquence fiduciale est systématiquement approximée par la fonction exponentielle dans le domaine concerné. De plus, (c) la divergence infrarouge dans le bremsstrahlung peut donner un bruit rose. Enfin, nous discutons de la robustesse du bruit rose et de plusieurs mécanismes de démodulation qui produisent une variété de bruit rose. Dans la section conclusion, nous résumons notre proposition et les vérifications possibles sur la base des points présentés dans la section Méthode. Nous résumons également nos perspectives de modulation d'amplitude sur une variété de systèmes.

Nous allons à présent lister quelques indices cruciaux sur l'origine du bruit rose. Ce processus est assez important car il peut clarifier quels principes de mécanique statistique sont utiles et lesquels ne sont pas utiles pour décrire le bruit rose.

Onde Les systèmes qui présentent un bruit rose sont souvent des ondes : ondes sonores, courant électrique, air-fluide, écoulement de liquide, etc. Les ondes peuvent interférer les unes avec les autres. Ainsi, l'interférence des ondes peut être un indice pour obtenir un bruit rose.

Petit système et mémoire apparemment longue Il est bizarre qu'un signal ultra-basse fréquence puisse provenir d'un tout petit système. A titre d'exemple extrême7, les films semi-conducteurs de couches de 2,5 nm donnent un bruit rose observable. Un petit semi-conducteur peut avoir un bruit rose jusqu'à \(10^{-7}\,\textrm{Hz}\)8, et les fluctuations de tension à travers un semi-conducteur montrent un bruit rose à partir d'environ \(1\,\textrm{Hz}\ ) à \(10^{-6.3}\,\textrm{Hz}\)9. Ces basses fréquences remarquables semblent presque impossibles pour les petits systèmes ordinaires. Dans ce contexte, si le théorème de Wiener-Khinchin \(S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }d\tau \int _{-\infty }^{\infty }dt\langle x(t)x(t-\tau )\rangle e^{-2\pi i\omega \tau }\) étaient corrects, alors le fort signal basse fréquence dans \(S(\omega )\) du le bruit rose indiquerait nécessairement la corrélation à long terme non nulle \(\langle x(t)x(t-\tau )\rangle\). Probablement, la moyenne temporelle dans ce théorème ne peut pas être physique : elle peut ne pas être bien définie pour une série chronologique non stationnaire et ne peut pas être évaluée avec précision pour une plage finie de données.

Pas de coupure inférieure apparente dans le PSD On discute souvent du fait que le bruit rose ne semble pas avoir de coupure inférieure explicite dans le PSD déterminée par une quelconque physique régissant le système. Le système présentant un bruit rose peut ne pas être stationnaire. Par conséquent, il peut être inutile d'avoir des discussions basées sur la stationnarité du système.

Indépendance vis-à-vis de la dissipation Remarquablement, le bruit rose apparaît même dans le modèle de champ moyen hamiltonien (HMF), qui est un système strictement conservateur10 et n'a rien à voir avec la dissipation. Ainsi, le théorème habituel de fluctuation-dissipation du type \(\left\langle \delta x^{2}\right\rangle \propto RkT\) peut ne pas être valable pour le bruit rose (R est la résistance électrique et kT est la température ).

Carré du signal d'origine Lors de la dérivation du bruit rose, il arrive souvent que la séquence temporelle d'origine soit mise au carré avant l'analyse PSD. Par exemple, dans le cas de la musique11, les données d'ondes sonores doivent toujours être mises au carré pour PSD ; les auteurs affirment que ces données au carré sont l'intensité sonore. De même, dans le cas du modèle HMF10, les auteurs prennent toujours un carré des variables d'origine pour obtenir le bruit rose. Dans les deux cas, les données d'origine avant de prendre le carré ne montrent aucun bruit rose. Dans le cas du courant électrique, cette procédure n'est pas manifeste, bien que l'article fondateur1 mette l'accent sur le carré de la tension \(V^{2}\) pour PSD.

À partir des cinq indices ci-dessus, nous supposons que les battements de nombreuses ondes avec des fréquences qui s'accumulent peuvent être à l'origine du bruit 1/f. Une simple superposition de deux ondes \(\sin (\omega t+\lambda t)+\sin (\omega t-\lambda t)=2\cos (\lambda t)\sin (\omega t)\) avec \ (\omega \gg \lambda >0\) n'a pas de composante basse fréquence autour de \(\lambda\) dans le PSD. D'autre part, le carré de l'onde superposée ci-dessus a un signal basse fréquence, c'est-à-dire les battements, autour de \(2\lambda\) dans sa PSD. Incidemment, il est parfois déroutant que le battement de l'onde sonore soit "audible" bien que la PSD de la superposition originale des deux ondes ne montre pas le signal basse fréquence correspondant.

L'argument ci-dessus nous rappelle un instrument de musique typique, le Theremin12, qui utilise le rythme de la vague. En mélangeant les signaux haute fréquence de 1000 kHz et 999,560 kHz générés par un circuit électrique, le signal basse fréquence de 440 Hz peut être extrait sous forme de son audible. Cette dernière fréquence peut être légèrement modifiée par la main du joueur, la distance de l'antenne et la capacité pour produire le signal de fréquence souhaité. Ainsi, la modulation d'amplitude peut produire des signaux basse fréquence arbitraires dans un système de petite taille. Le signal modulé n'a pas de mémoire intrinsèque et n'a rien à voir avec la dissipation.

Un autre appareil familier est la radio AM qui montre clairement le rythme de l'onde ou la modulation d'amplitude (AM). En utilisant des ondes radio de 526,5 kHz à 1606,5 kHz, le signal audible basse fréquence est extrait. Dans ce cas, le processus de redressement (démodulation) est essentiel pour obtenir des signaux basse fréquence audibles. Ce processus de démodulation est également essentiel pour le bruit rose dans notre proposition. Dans les sections suivantes, nous verrons une variété de bruits roses dans les nombreuses façons de démoduler.

Les cinq points ci-dessus seront également une vérification élémentaire de notre proposition. Ceci sera discuté dans les sections suivantes.

Il semble y avoir plusieurs causes au battement d'onde qui forme le bruit rose, mais la concentration des fréquences d'onde est l'essence des signaux basse fréquence. Nous allons maintenant nous concentrer sur ces causes séparément dans les sections suivantes : (a) synchronisation, (b) résonance et (c) divergence infrarouge.

Dans cette section, nous analyserons la cause des battements d'ondes, en particulier lorsque les fréquences des ondes se rapprochent spontanément les unes des autres. Nous considérons des systèmes coopératifs qui présentent ce comportement.

Le type de synchronisation le plus typique serait l'approche exponentielle, comme dans le cas du modèle de Kuramoto13, \(\omega =e^{-\lambda t}\) où \(\omega\) est la fréquence et \( \lambda\) est la vitesse d'approche, et t est le temps. Alors la fonction de distribution de fréquence \(P(\omega )\) et la fonction de distribution temporelle p(t) sont liées l'une à l'autre par \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\). Si nous supposons la stationnarité de la fluctuation, nous posons \(p(t)\equiv p=const\). Alors,

Il est intéressant de noter que la fonction exponentielle donne l'indice de puissance exactement \(-1\).

Le battement observé est l'interférence de la paire de distributions de fréquence ci-dessus, et la fréquence de battement \(\Delta \omega\) a sa fonction de distribution de probabilité \(Q(\Delta \omega )\) comme

qui est à nouveau proportionnel à \(\left( \Delta \omega \right) ^{-1}\)avec un petit facteur de modification de \(\ln [...\Delta \omega ]\). Le détail de la forme complète \(Q(\Delta \omega )\) dépend des frontières du domaine d'intégration \(\omega _{1}<\Delta \omega <\omega _{2}\). Des exemples typiques sont illustrés à la Fig. 1.

Exemples de \(Q(\Delta \omega )\) dans Eq. (2) pour les cas \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) et \(\omega _{1}=10^{-4},10^ {-6}\) (courbes pleines et en pointillés, respectivement). Le comportement détaillé de \(Q(\Delta \omega )\) dépend des bornes supérieure et inférieure de l'intégration.

Le bruit rose est robuste et la distribution de fréquence est directement reflétée dans le PDF des ondes à ces fréquences,

où \(\omega\) est une fréquence fiduciale, c est une constante de mélange, \(r_{i}\) la variable aléatoire de Poisson dans une plage pour chaque sinusoïde, et i va de 1 à une certaine limite supérieure. Ce modèle général, bien que statique, représente la superposition de fréquences accumulées, incluant de nombreux systèmes dynamiques. Ceci est démontré dans la Fig. 2 où la PSD de \(\phi ^{2}\) est montrée.

La PSD de \(\phi ^{2}\) est représentée par \(\omega =10\), \(c=0.2\), et r est un champ aléatoire dans l'intervalle [0, 30]. Mille ondes sinusoïdales sont superposées selon l'Eq. (3). L'indice de puissance peut varier jusqu'à environ 0,1 pour chaque exécution. Ce PDF montre le bruit rose d'indice \(-1\) pendant quatre décennies.

Identique à la Fig. 2, mais les ondes sinusoïdales sont superposées avec une phase aléatoire \(\theta _{i}\), \(\,(0\le \theta _{i}<2{\pi })\) et l'amplitude aléatoire \(a_{i}\,(0\le a_{i}\le 1)\) pour chaque : \(\phi \left( t\right) =\sum _{i}a_{i} \sin \left( 2\pi \omega (1+ce^{-r_{i}})t+\theta _{i}\right)\). L'indice de puissance chute un peu à \(-0,9\), mais ce PDF montre la robustesse du bruit rose du battement de l'onde.

Le bruit rose est robuste et la randomisation de chaque phase de l'onde sinusoïdale ne modifie pas la PDF sauf que l'indice de puissance est légèrement réduit, comme le montre la Fig. 3.

Il est essentiel que le carré du signal \(\phi ^{2}\) affiche un bruit rose en PSD comme sur la Fig. 1, tandis que le signal d'origine lui-même \(\phi\) ne présente aucune caractéristique à basse fréquence région comme le montre la Fig. 4. Ce fait démontre manifestement que le bruit rose provient du battement de l'onde.

Identique à la Fig. 2, mais il s'agit de PDF pour le signal d'origine \(\phi\). Le bruit rose n'apparaît jamais dans ce cas, indiquant que le bruit provient du battement de l'onde.

Un autre type de synchronisation populaire serait l'approche de puissance \(\omega =t^{-\alpha }\). En répétant les mêmes calculs que ci-dessus, nous obtenons la fonction de distribution de fréquence comme

où \(c\equiv p\alpha ^{-1},\beta \equiv \left( 1+\frac{1}{\alpha }\right) .\) La fonction de distribution de probabilité \(Q(\Delta w )\) de la fréquence de battement \(Q(\Delta w)\) est donnée par

Alors,

si on développe par rapport à petit \(\omega _{1}\) et petit \(\Delta \omega .\) L'exposant est inférieur à \(-1\) pour \(\alpha >0\), et supérieur à \(-1\) pour \(\alpha <0\) mais la puissance fiduciaire est \(-1\). Des exemples typiques sont illustrés à la Fig. 5.

Exemples de \(Q(\Delta \omega )\) pour les cas \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) et \(\omega _{1} =10^{-4},c=1,\beta =1.2\) et 1.33 (courbes pleines et pointillées, respectivement).

Un signal d'onde typique peut être construit comme avant,

et PSD pour \(\phi ^{2}\) sont illustrés à la Fig. 6 pour \(\alpha =3\) et à la Fig. 7 pour \(\alpha =-3.\)

La PSD est indiquée pour \(\phi ^{2}\) avec \(\alpha =3,{\omega =10}\), \(c=0.3\) et \(r_{i}\) est un champ aléatoire dans l'intervalle [0,20]. Cent ondes sinusoïdales sont superposées selon l'Eq. (7). Ce PDF montre le bruit rose d'indice \(-1,4\) pendant quatre décennies.

La PSD est affichée pour \(\phi ^{2}\) avec \(\alpha =-3, {\omega =10},\) \({c=0.03}\) et \(r_{i} \) est un champ aléatoire dans l'intervalle [0,1]. Mille ondes sinusoïdales sont superposées selon l'Eq. (7). Ce PDF montre le bruit rose d'indice \(-0,8\) pendant trois décennies.

Bien que les démonstrations ci-dessus soient des modèles simples typiques des ondes avec des fréquences d'accumulation, les fréquences sont fixes. Cependant, il est également possible de considérer des systèmes coopératifs dynamiques avec des fréquences dépendant du temps, et ils présentent souvent un bruit rose ; les modèles de spin couplés macroscopiques14 et le modèle de champ moyen hamiltonien10. Étant donné que la discussion de ceux-ci dépasse le cadre de cet article, nous les couvrirons bientôt dans un article séparé.

Considérons maintenant la résonance, qui produit la concentration spontanée des fréquences et les battements d'ondes. Lorsque le système de fréquence propre intrinsèque \(\Omega\) est stimulé (à plusieurs reprises), il émet le mode d'onde de fréquence \(\Omega\) ainsi que ceux proches de \(\Omega\). La résonance assure ainsi la concentration des fréquences dans une petite plage. Comme ces fréquences sont proches les unes des autres, les ondes de ces fréquences battent et produisent un signal dans les régions à basse fréquence.

Supposons un cas typique de résonance caractérisé par la courbe de résonance, la distribution de Cauchy

où \(\Omega\) est la fréquence de résonance et \(\kappa\) caractérise la netteté de la résonance. Nous interpréterons cette fonction \(R[\omega ]\) comme proportionnelle au nombre de modes \(\omega\) dans le résonateur. Alors la fonction de distribution de fréquence \(P(\omega )\) est donnée par la fonction inverse de \(R[\omega ]\), comme

où nous avons choisi la moitié supérieure de l'inverse de \(R[\omega ]\), puisque la moitié inférieure est symétrique à la moitié supérieure.

Il est possible de faire une approximation naïve de l'Eq. (9) par la fonction exponentielle \(\omega =Ae^{-Bt}\), où les constantes A, B sont déterminées au point d'inflexion de l'Eq. (9), comme le montre la Fig. 8. Nous savons déjà que cette fonction exponentielle donne le bruit rose exact de pente \(-1\) en PSD.

Ceci est démontré sur la Fig. 9, où la PSD est tracée pour le carré \(\phi (t)^{2}\) de la séquence temporelle \(\phi (t)\) générée par

Démonstration de l'éq. (9) dans le graphique log-linéaire. La fonction \(\omega (t)\) peut être approximée par la fonction exponentielle (ligne droite pointillée) avec la même inclinaison au point d'inflexion de \(\omega (t)\), en particulier dans la plage des grands t qui est pertinent pour les battements à basse fréquence.

PSD de la séquence temporelle \(\phi (t)^{2}\) générée par Eq. (10) avec \(\kappa =0.1,\Omega =10,\) et le domaine du champ aléatoire \(r_{i}\) est [0, 10]. Nous avons superposé 100 ondes sinusoïdales, et cette PSD montre la loi de puissance approximative de l'indice \(-1,3\).

Cependant, l'analyse du système n'est pas facile. En utilisant la relation \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\) avec \(p(t)\equiv p=const\), on obtient la fonction de distribution de fréquence \(P(\omega )\ ) comme

qui ne peut être réduit à une seule forme de puissance si \(\kappa\) est fini.

D'autres complications découlent du système de résonance réel, qui a des harmoniques compliqués et de multiples fréquences propres qui contribuent systématiquement au bruit rose. Une dérivation entièrement systématique du bruit rose pour chaque système de résonance concret nécessite une étude plus approfondie. Comme cela dépasse le cadre de cet article, nous n'en discuterons pas plus ici, mais cela sera bientôt analysé dans un article séparé.

Considérons maintenant la troisième cause de la concentration spontanée des fréquences issues de la divergence infrarouge. Cette classe de systèmes présentant un bruit rose est assez diverse mais peut être réduite au système composé d'électrons et de photons décrit par l'électrodynamique.

Dans ce contexte, une origine quantique du bruit rose a déjà été proposée en utilisant l'interférence quantique d'un électron entre ses états de pré- et post-diffusion15,16. Ils prétendent que l'état d'électron post-diffusé, après émission d'un photon de fréquence \(\omega\), et l'état d'électron pré-diffusé interfèrent l'un avec l'autre pour produire un battement de fréquence \(\omega\). Cependant, cette théorie a été critiquée17,18, principalement parce que l'interférence quantique ne se produit pas vraiment ; les états pré- et post-diffusés sont orthogonaux entre eux et n'ont aucune chance d'interférer. Même l'introduction de la base étatique cohérente ne fonctionne pas. Incidemment, certaines autres critiques ne sont pas valables.

L'essence du bruit rose n'est peut-être pas l'auto-interférence d'un électron, mais la modulation de phase d'objets semi-classiques plus macroscopiques associés à l'émission de particules sans masse. Dans cette section, nous nous concentrons sur une telle description semi-classique de l'électromagnétisme.

Dans le semi-conducteur, les électrons peuvent être classiques au-delà de l'échelle de la longueur de flux libre, environ 10 nm, soit plusieurs tendances de la taille du réseau. Lorsque la taille du système est d'environ 1 mm, il existe \(10^{10}\) de tels éléments cohérents locaux dans le système. Les électrons dans un tel élément cohérent peuvent être décrits en termes de paquet d'ondes,

où \(\phi \left( k\right)\) représente la fonction de poids et \(v_{g}=d\omega /dk\) est la vitesse de groupe19. Le centre du paquet d'ondes représente la limite classique du mouvement des électrons, et l'étendue du paquet d'ondes peut représenter une interférence.

Lorsque le paquet d'ondes d'électrons rencontre une impureté, l'émission de photons modifie sa fréquence en fonction de l'énergie émise. La probabilité d'émission de photons d'énergie \(\hbar \omega\) est proportionnelle à \(\omega ^{-1}\) et la modulation de fréquence du paquet d'ondes s'élève à \(\omega\) : c'est la divergence infrarouge dans l'électrodynamique quantique (QED)20.

Ces paquets d'ondes dans le système se propagent dans la même direction et cascadent, bifurquent et fusionnent ; les modulations de fréquence se mélangent au fur et à mesure de leur propagation. Nous supposons que la fréquence fiduciale du paquet d'ondes est \(\omega _{0}\), qui est déterminée par la tension appliquée et la conductivité. Ensuite, les paquets d'ondes originaux se transforment en la superposition d'un nombre énorme de paquets locaux avec des fréquences \(\omega _{0}-\omega _{i},i=1,2,\ldots\). Chaque paire de ces paquets fait des battements avec toutes les différences possibles \(\left( \omega _{0}-\omega _{i}\right) -\left( \omega _{0}-\omega _{j} \right) =\omega _{j}-\omega _{i}.\) Le système est donc rempli d'un nombre énorme N de paquets d'ondes locaux \(\psi _{i}(x,t)\), \ (i=1,2,\ldots\, N\). Le courant électrique total est la superposition de tous

où la forme quadratique des paquets d'ondes correspond à la démodulation de chaque paquet, et donc le bruit rose apparaît dans ce courant. Ce processus est le même que le cas précédent de l'approche exponentielle, et de nombreux paquets d'ondes avec des fréquences légèrement différentes interfèrent pour donner le battement d'onde comme dans l'Eq. (2) et ainsi le bruit rose apparaît comme sur la Fig. 2.

Il est important de noter que l'interférence quantique complète, y compris les photons émis, n'est pas nécessaire pour générer du bruit rose, mais un nombre considérable de paquets d'ondes avec des ondes synchronisées sont cruciaux. Les photons émis sont facilement absorbés dans le système, et donc la cage de Faraday entourant le système, le cas échéant, n'affecte en rien les fluctuations de courant18.

Dans ce contexte, le formalisme d'état habillé cohérent pour QED a été développé pour annuler la divergence infrarouge associée au photon sans masse21,22. Bien que la plupart des auteurs supposent des courants de fond (semi-)classiques ab initio, les degrés de liberté classiques ne sont pas correctement dérivés. La dérivation des degrés de liberté classiques en QED est possible dans le formalisme de chemin temporel fermé de l'action effective associée à un état instable. La divergence IR de la théorie nécessite la séparation du noyau statistique classique de l'action effective complexe. Ensuite, l'équation de Langevin avec bruit classique est dérivée de l'action effective et peut décrire l'évolution classique des courants23.

Ce formalisme nécessite une discussion plus systématique que celle que nous pouvons donner ici. Cependant, nous rapporterons cette théorie dans un article séparé, y compris l'interférence quantique classique.

Jusqu'à présent, nous avons proposé trois types d'origine des ondes de synchronisation, qui donnent des battements systématiques et produisent du bruit rose. Étant donné que le bruit rose est généré par le battement d'onde ou la modulation d'amplitude, tout processus de démodulation est nécessaire pour l'observation. Ce processus de démodulation peut être (a) des mécanismes intrinsèques associés au système ou (b) des processus opérationnels associés à la réduction des données pour PSD. Dans les deux cas, le processus de démodulation offre de la robustesse et une variété de bruit rose. Cette section est consacrée à montrer quelques exemples d'une telle robustesse et variété.

Fiducial Le signal fiducial est celui discuté dans "Approche exponentielle", avec les mêmes paramètres de la Fig. 2 : \(\omega =10\), \(c=0.2\), et \(r_{i}\) est un champ aléatoire dans la plage [0, 30]. Là, les sinusoïdes \(10^{3}\) sont superposées selon l'équation. (7). Le signal au carré \(\phi ^{2}\) montre un bruit rose clair de pente \(-1.0\) comme sur la Fig. 2.

Le seuil pour \(\phi ^{2}\) Nous définissons les nouvelles données à zéro pour les données \(\phi ^{2}\) qui sont inférieures à la moyenne et laissons les autres données telles quelles. Le PSD montre un bruit rose avec une pente de \(-1.0\), presque inchangé par rapport au cas fiducial. Ce cas peut s'appliquer au système nerveux, où seule une tension supérieure à un certain seuil peut produire un signal de pointe.

Seuil marche-arrêt pour \(\phi ^{2}\) Nous définissons le nouveau zéro de données pour les données \(\phi ^{2}\) inférieures à la moyenne et définissons les autres données sur 1. Le PSD affiche un bruit rose avec une pente de \(-0,94\).

Seuil inverse marche-arrêt pour \(\phi ^{2}\) C'est l'opposé du cas 3. Nous définissons la valeur 1 pour les données \(\phi ^{2}\) inférieures à la moyenne et définissons les autres données \(\phi ^{2}\) à 0. La PSD affiche un bruit rose avec une pente de \(-0,94\), comme dans le cas 3.

Seuil pour les données d'origine \(\phi\) nous définissons les nouvelles données à zéro pour les données \(\phi\) inférieures à la moyenne et définissons les autres données telles quelles. Le PSD affiche un bruit rose avec une pente de \(-0,98\).

Rectification des données d'origine \(\phi\) Nous mettons les nouvelles données à zéro pour les données \(\phi\) qui sont négatives et laissons les autres données telles quelles. Le PSD affiche un bruit rose avec une pente de \(-1,2\). Cela peut s'appliquer à certains circuits électriques contenant des transistors, des diodes et des tubes à vide.

Séquence de \(\phi ^{2}\) moyenne locale Nous divisons la séquence temporelle entière de \(\phi\) en \(10^{3}\) segments et appliquons une moyenne quadratique à chaque segment. Le PSD affiche un bruit rose avec une pente de \(-1.1\). Il s'agit du traitement des données dans l'expérience originale1.

Séquence de \(\phi\) moyenne locale Identique au cas 7, mais nous appliquons une moyenne simple dans chaque segment. Le PSD ne montre AUCUN bruit rose et la puissance est positive \ (+0,8 \).

Résolution temporelle grossière pour \(\phi ^{2}\) Nous réduisons le nombre de points d'échantillonnage à la moitié de l'original. Le PSD montre un bruit presque rose avec une pente de \(-1.1\).

Moins d'ondes superposées Nous réduisons le nombre d'ondes superposées du repère \(10^{3}\) à 10. Le PSD ne montre AUCUN bruit rose.

Plus d'ondes superposées Nous augmentons le nombre d'ondes superposées du repère \(10^{3}\) à \(10^{4}\). Le PSD affiche un bruit rose avec une puissance de \(-0,94\).

Séquence temporelle plus longue Nous étendons la séquence temporelle du repère \(10^{4}\) à \(10^{5}\). Le PSD affiche un bruit rose avec une pente de \(-1.0\); la même qu'avant, mais avec une loi de puissance allongée d'une décade.

Fréquences fiduciales multiples Nous avons changé la fréquence fiduciale du single original à 5, sélectionné au hasard entre 0 et 20. Le PSD montre un bruit rose avec une pente de \(-1.5\).

Comme examiné ci-dessus, il existe plusieurs processus de démodulation. Ils sont classés comme (a) intrinsèques au système et (b) opérationnels dans la réduction des données, bien que la classification ne soit pas exclusive. Des exemples de (a) sont le seuillage et la rectification : cas 3,4,5,6. Des exemples de (b) sont la mise au carré des données : cas 1, 2, 7. Les cas 9, 11, 12, 13 montrent une certaine robustesse du bruit rose.

Nous avons largement considéré le bruit rose en définissant le bruit avec la loi de puissance de l'indice \(-\alpha\), (\(0.5<\alpha <1.5\)) et étudié un modèle qui montre ce comportement. Cependant, il existe une classe de systèmes qui montre exactement la puissance \(-1\). Notre modèle ne peut pas expliquer cette puissance exacte \(-1\), à l'exception de l'approche exponentielle de la Sect. "Approche exponentielle". Nous aimerions explorer dans quelle mesure le modèle d'approche exponentielle peut être général à l'avenir.

Nous avons discuté de l'origine du bruit rose du battement des ondes avec des fréquences qui s'accumulent. Nous avons examiné trois causes possibles de cet effet coopératif : la synchronisation, la résonance et la divergence IR. Il peut y avoir plus de mécanismes. Nous soulignons la vérifiabilité/falsifiabilité de notre modèle basé sur les cinq observations cruciales pour le bruit rose dans Sect. "Méthode: quelques indices cruciaux pour le bruit rose".

Onde L'onde est essentielle pour produire une modulation de rythme et d'amplitude. L'onde peut être cachée à l'intérieur du système et les données peuvent être obtenues après avoir franchi le seuil. Si nous ne pouvons pas trouver une onde cohérente dans le système, notre modèle ne peut pas être appliqué.

Petit système et mémoire longue apparente Le théorème de Wiener-Khinchin, lorsqu'il est appliqué au bruit rose, peut indiquer une mémoire extrêmement longue. Cependant, selon notre modèle, cette longue mémoire n'est pas indispensable. Notre modèle ne sera pas indispensable si nous trouvons une vraie mémoire longue dans le système qui affiche un bruit rose.

Pas de coupure inférieure apparente dans le PSD Le battement des ondes avec des fréquences accumulées ou la modulation d'amplitude peut produire un signal infiniment basse fréquence de l'intérieur d'un système fini dans les contraintes d'observation. Par conséquent, si une fréquence de coupure inférieure intrinsèque est trouvée dans le bruit rose, notre modèle ne peut pas être appliqué.

Indépendance vis-à-vis de la dissipation Le battement de l'onde ou la modulation d'amplitude est une fluctuation secondaire provoquée par la synthèse d'onde. Par conséquent, la dissipation peut détruire le bruit rose car elle peut annuler les battements fragiles des ondes.

Carré du signal d'origine (nécessité du processus de démodulation) La modulation d'amplitude nécessite un processus de démodulation pour l'observation. Les fluctuations primaires avant la démodulation n'apparaissent pas dans la PSD. Notre modèle pour le bruit rose prédit le processus de démodulation comme étant (a) intrinsèque au système ou (b) opérationnel dans la réduction des données. Si la démodulation se retrouve dans le système de bruit rose, et que le bruit rose disparaît lorsque le processus de démodulation est supprimé, alors notre modèle est fortement favorisé.

Bien que nous ayons proposé un modèle de base du bruit rose, nous avons encore beaucoup de problèmes à élaborer sur le formalisme actuel. Certains ont déjà été décrits dans des endroits appropriés avec le mot-clé "papier séparé". Ce sont des systèmes coopératifs dynamiques, des systèmes résonnants réels et des systèmes à divergence IR. Parmi eux, nous résumons les systèmes éventuellement résonnants dans le tableau 1.

La liste du tableau 1 est provisoire et imparfaite. Elle sera complétée dans nos prochaines publications, notamment par la vérification de notre modèle de bruit rose simple.

Les ensembles de données utilisés et/ou analysés au cours de l'étude en cours sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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